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Geometrie-Rechner · Sofort-Ergebnis mit Rechenweg

Dreieck berechnen – Interaktiver Dreiecksrechner (SSS, SWS, WSW, SsW & rechtwinklig)

Berechnen Sie kostenlos & online alle Seiten, Innenwinkel, Höhen, Fläche, Umfang sowie In- und Umkreisradius jedes beliebigen oder rechtwinkligen Dreiecks – inklusive maßstabsgetreuer Live-Skizze und vollständigem Beweis über Sinus-, Kosinussatz oder Pythagoras.

Eingaben

Gegebene Größen (Kongruenzsatz)

Ergebnisse aktualisieren sich live beim Tippen.

Ergebnis

Flächeninhalt A
26,83 cm²
Umfang U = 24 cm · allgemein, spitzwinklig
Seite a
7 cm
Seite b
8 cm
Seite c (Grundseite)
9 cm
Winkel α (bei A)
48,19 °
Winkel β (bei B)
58,41 °
Winkel γ (bei C)
73,4 °
Höhe h_c (auf c)
5,96 cm
Höhen h_a / h_b
7,67 / 6,71 cm
Inkreis r_i / Umkreis r_u
2,24 / 4,7 cm
Maßstabsgetreues Dreieck ABCSkaliert live mit Ihren Werten
h_c = 6 c = 9 cm b = 8 cm a = 7 cm A (α=48,2°) B (β=58,4°) C (γ=73,4°)

Gegenüber von Punkt A liegt Seite a, gegenüber von B liegt b, gegenüber von C liegt c.

Rechenweg – Schritt für Schritt

  1. Winkel α und β mit dem Kosinussatz berechnen
    cos(α) = (b² + c² − a²) / (2·b·c) = (8² + 9² − 7²) / (2·8·9) = 0,6667 ⇒ α = arccos(0,6667) = 48,19 ° cos(β) = (a² + c² − b²) / (2·a·c) = 0,5238 ⇒ β = 58,41 °
  2. Dritten Winkel γ über den Winkelsummensatz (180°)
    γ = 180° − α − β = 180° − 48,19° − 58,41° = 73,4 °
  3. Flächeninhalt A & Umfang U berechnen
    U = a + b + c = 7 + 8 + 9 = 24 cm A = ½ · a · b · sin(γ) = ½ · 7 · 8 · sin(73,4°) = 26,83 cm²
    Gegenprobe nach dem Satz des Heron mit s = U/2 = 12 cm: A = √(s·(s−a)·(s−b)·(s−c)) = 26,83 cm².
  4. Höhen h_a, h_b, h_c sowie Inkreis- & Umkreisradius
    h_c = 2·A / c = 5,96 cm, h_a = 7,67 cm, h_b = 6,71 cm r_Inkreis = A / s = 2,24 cm, r_Umkreis = (a·b·c) / (4·A) = 4,7 cm

🔒 100% KostenlosOhne AnmeldungBerechnung erfolgt lokal in Ihrem Browser (DSGVO-konform).

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Dreieck berechnen: So lösen Sie jedes Dreieck aus 3 Angaben

Ein ebenes Dreieck besitzt sechs Bestimmungsstücke: drei Seiten ($a, b, c$) und drei Innenwinkel ($alpha, eta, gamma$). Sobald drei unabhängige Größen (darunter mindestens eine Seitenlänge) bekannt sind, ist das Dreieck nach den Kongruenzsätzen eindeutig bestimmt und alle übrigen Werte lassen sich exakt berechnen:

  • SSS (Seite–Seite–Seite): Alle drei Seiten $a, b, c$ sind gegeben (Bedingung: Dreiecksungleichung $a+b>c$, $a+c>b$, $b+c>a$). Die Innenwinkel folgen direkt aus dem umgestellten Kosinussatz.
  • SWS (Seite–Winkel–Seite): Zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel (z. B. $a, b, gamma$) sind bekannt. Der Kosinussatz liefert sofort die dritte Seite $c$.
  • WSW / SWW (Winkel–Seite–Winkel): Eine Seite und zwei Winkel sind gegeben. Über den Winkelsummensatz $alpha + eta + gamma = 180^circ$ ergibt sich der dritte Winkel, anschließend liefert der Sinussatz die beiden fehlenden Seiten.
  • SsW (Seite–Seite–Gegenwinkel): Zwei Seiten $a, b$ und der Gegenwinkel $alpha$ sind bekannt. Über den Sinussatz wird $sin(eta) = rac{b cdot sin(alpha)}{a}$ bestimmt.
  • Rechtwinkliges Dreieck ($gamma = 90^circ$): Da der rechte Winkel bereits feststeht, genügen zwei weitere Angaben. Es gelten der Satz des Pythagoras ($a^2 + b^2 = c^2$) sowie $sin, cos, an$.
Kosinussatz (für SSS & SWS)
c² = a² + b² − 2 · a · b · cos(γ)
Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras für beliebige Dreiecke. Für γ = 90° ist cos(90°) = 0.
Sinussatz (für WSW & SsW)
a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ) = 2 · r_Umkreis
Das Verhältnis einer Seite zum Sinus ihres Gegenwinkels ist im gesamten Dreieck konstant.
Flächeninhalt (3 Varianten)
A = ½ · c · h_c = ½ · a · b · sin(γ)
Alternativ aus drei Seiten über die Formel von Heron: A = √(s·(s−a)·(s−b)·(s−c)) mit s = U/2.
Satz des Pythagoras (γ = 90°)
a² + b² = c² ⇒ c = √(a² + b²)
Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat.

Übersicht: Welcher Satz gilt bei welchen gegebenen Größen?

Entscheidungstabelle zur Dreiecksberechnung nach Kongruenzsätzen
FallGegeben1. Rechenschritt2. RechenschrittFlächenformel
SSSSeiten a, b, cKosinussatz → α, βγ = 180° − α − βSatz des Heron
SWSSeiten a, b & Winkel γKosinussatz → Seite cKosinus-/Sinussatz → α, βA = ½ · a · b · sin(γ)
WSWSeite c & Winkel α, βγ = 180° − α − βSinussatz → Seiten a, bA = c²·sin(α)·sin(β) / (2·sin(γ))
SsWSeiten a, b & Winkel αSinussatz → Winkel βγ = 180°−α−β, dann Seite cA = ½ · a · b · sin(γ)
90°-DreieckKatheten a, b (γ = 90°)Pythagoras c = √(a²+b²)tan(α) = a / b, β = 90°−αA = ½ · a · b
3-4-5-Schnurtrick auf der Baustelle: Ein Dreieck mit den Seitenlängen $3\text{ m}$, $4\text{ m}$ und $5\text{ m}$ besitzt wegen $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ garantiert einen exakten rechten Winkel ($90^\circ$) zwischen den Seiten $a=3$ und $b=4$.

Praxisbeispiele zur Dreiecksberechnung

Fassade & Malerarbeiten

Giebeldreieck unter dem Satteldach streichen

Eine Hauswand besitzt einen dreieckigen Dachgiebel mit der Hausbreite c = 9,00 m und beiden Dachschrägen a = b = 5,80 m (Fall SSS). Wie viel Quadratmeter Fassadenfarbe werden benötigt?

s = (5,80 + 5,80 + 9,00) / 2 = 10,30 m A = √(10,30 · (10,30−5,80)² · (10,30−9,00)) = √271,15 = 16,47 m² h_c = 2 · 16,47 / 9,00 = 3,66 m Firsthöhe

Ergebnis: Die Giebelfläche beträgt 16,47 m² bei einer Giebelhöhe von 3,66 m.

Grundstück & Vermessung

Dreieckiges Gartengrundstück (SWS)

Zwei Grundstücksgrenzen messen a = 24 m und b = 31 m und schließen einen Winkel von γ = 68° ein. Gesucht sind die dritte Grenze c und die Grundstücksfläche.

c = √(24² + 31² − 2 · 24 · 31 · cos(68°)) = √(1537 − 557,4) = 31,30 m A = ½ · 24 · 31 · sin(68°) = 372 · 0,9272 = 344,91 m²

Ergebnis: Die dritte Grundstücksseite ist 31,30 m lang, die Fläche beträgt 344,91 m².

Häufige Fragen zum Thema „Dreieck berechnen“

Wann lässt sich aus drei Seiten KEIN Dreieck bilden?
Wenn die sogenannte Dreiecksungleichung verletzt ist: In jedem echten Dreieck muss die Summe zweier beliebiger Seitenlängen immer echt größer sein als die dritte Seite (a + b > c, a + c > b und b + c > a). Ist z. B. a = 2 cm, b = 3 cm und c = 6 cm, reichen die beiden kürzeren Seiten nicht aneinander heran.

Wann verwende ich den Sinussatz und wann den Kosinussatz?
Nutzen Sie den Kosinussatz immer dann, wenn drei Seiten (SSS) oder zwei Seiten mit dem eingeschlossenen Winkel (SWS) bekannt sind. Den Sinussatz verwenden Sie, sobald ein zusammengehöriges Paar aus Seite und Gegenwinkel (z. B. a und α) gegeben ist.

Wie berechnet man die Höhe eines allgemeinen Dreiecks ohne rechten Winkel?
Berechnen Sie zunächst den Flächeninhalt A (z. B. über A = ½ · a · b · sin(γ) oder den Satz des Heron) und stellen Sie anschließend die Grundformel A = ½ · c · h_c nach der Höhe um: h_c = (2 · A) / c.

Warum gibt es beim Fall SsW manchmal zwei verschiedene Dreiecke?
Wenn der gegebene Winkel α einer kürzeren Seite gegenüberliegt (a < b), schneidet der Kreisbogen mit Radius a die dritte Seite zweimal. Da sin(β) = sin(180° − β) gilt, existieren dann eine spitzwinklige Lösung β₁ und eine stumpfwinklige Lösung β₂ = 180° − β₁.

Wie groß ist die Winkelsumme im Dreieck?
In der ebenen (euklidischen) Geometrie beträgt die Summe der drei Innenwinkel in jedem Dreieck exakt α + β + γ = 180°. Sind zwei Winkel bekannt, ergibt sich der dritte immer durch Subtraktion von 180°.
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