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Mathe-Rechner · Sofort-Ergebnis mit Rechenweg

Mittelwert berechnen – Online-Rechner für Durchschnitt, Median & Standardabweichung

Kopieren oder tippen Sie Ihre Zahlenreihe kostenlos & online ein und erhalten Sie sofort den arithmetischen Mittelwert (Durchschnitt), Median, Modus, das geometrische Mittel sowie Varianz und Standardabweichung – inklusive vollständigem Rechenweg.

Eingaben

Dezimalzahlen können mit Komma (3,14) oder Punkt (3.14) eingegeben werden.

Ergebnisse aktualisieren sich live beim Tippen.

Ergebnis

Arithmetischer Mittelwert x̄ (n = 7)
19,571
Median x̃ = 18 · Standardabweichung s = 6,399 · Summe = 137
Arithm. Mittelwert (x̄)
19,5714
Median / Zentralwert (x̃)
18
Modus (Modalwert)
15 (2×)
Geometrisches Mittel
18,7076
Standardabweichung s (n−1)
6,3994
Standardabweichung σ (n)
5,9247
Varianz s² / σ²
40,95 / 35,1
Summe (∑x) / Anzahl (n)
137 (n = 7)
Min / Max (Spannweite)
12 bis 30 (R = 18)
Quartile Q₁ / Q₃ (IQR)
15 / 23,5 (8,5)
Säulendiagramm der Zahlenreihe mit Mittelwert x̄ & Median x̃Skaliert live mit Ihren Werten
12 15 18 15 22 25 30 x̄ = 19,57 Median = 18

Die durchgezogene grüne Linie zeigt das arithmetische Mittel x̄, die gestrichelte Linie den gegenüber Ausreißern robusten Median x̃.

Rechenweg – Schritt für Schritt

  1. Arithmetischen Mittelwert x̄ aus n = 7 Werten berechnen
    Summe ∑x_i = 12 + 15 + 18 + 15 + 22 + 25 + 30 = 137 x̄ = (∑x_i) / n = 137 / 7 = 19,5714
  2. Werte der Größe nach sortieren & Median (Zentralwert) bestimmen
    Sortierte Reihe: 12 ≤ 15 ≤ 15 ≤ 18 ≤ 22 ≤ 25 ≤ 30 Ungerade Anzahl (n = 7) ⇒ mittlerer Wert an Position 4: x̃ = 18
  3. Varianz & Standardabweichung (Stichprobe s & Grundgesamtheit σ)
    ∑(x_i − x̄)² = 245,7143 Stichproben-Standardabweichung s = √(245,7143 / 6) = 6,3994 Grundgesamtheit σ = √(245,7143 / 7) = 5,9247
  4. Geometrisches Mittel & Harmonisches Mittel
    x̄_geom = ⁿ√(x₁ · x₂ · … · x_n) = 18,7076 x̄_harm = n / ∑(1 / x_i) = 17,9024
    Es gilt stets die Ungleichungskette: x̄_harm ≤ x̄_geom ≤ x̄_arithm.

🔒 100% KostenlosOhne AnmeldungBerechnung erfolgt lokal in Ihrem Browser (DSGVO-konform).

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Mittelwert berechnen: Arithmetisches Mittel, Median, Modus & geometrisches Mittel

Wenn im Alltag vom „Durchschnitt“ oder „Mittelwert“ gesprochen wird, ist fast immer das arithmetische Mittel $ar{x}$ gemeint: Man addiert alle $n$ Einzelwerte und teilt die Summe durch die Anzahl $n$. In der Statistik gibt es jedoch je nach Fragestellung und Skalenniveau vier verschiedene Lageparameter, die unser Rechner gleichzeitig bestimmt:

Arithmetischer Mittelwert x̄ (Durchschnitt)
x̄ = (x₁ + x₂ + … + x_n) / n = (1 / n) · ∑ x_i
Standard für Messwerte, Noten, Temperaturen und Umsätze. Empfindlich gegenüber extremen Ausreißern.
Median x̃ (Zentralwert)
x̃ = x_((n+1)/2) bzw. ½ · (x_(n/2) + x_(n/2 + 1))
Der Wert genau in der Mitte der sortierten Datenreihe – unempfindlich (robust) gegen Ausreißer!
Geometrisches Mittel x̄_geom (für Wachstumsraten)
x̄_geom = ⁿ√(x₁ · x₂ · … · x_n)
Pflicht bei prozentualen Wachstumsfaktoren, Zinseszinsen und Renditen über mehrere Jahre (alle x_i > 0).
Standardabweichung s (Stichprobe) & σ (Population)
s = √[ (1 / (n − 1)) · ∑ (x_i − x̄)² ]
Misst, wie stark die Einzelwerte durchschnittlich um den Mittelwert x̄ streuen.

Wann nimmt man welchen Mittelwert? (Entscheidungstabelle)

Vergleich der wichtigsten Mittelwerte und Streuungsmaße in der Statistik
KennwertFormelzeichenRobust gegen Ausreißer?Typisches Anwendungsbeispiel
Arithmetisches Mittelx̄ (oder μ)Nein (stark beeinflusst)Notendurchschnitt, durchschnittlicher Monatsverbrauch, Körpergröße
Median (Zentralwert)x̃ (oder Q₂)Ja (sehr robust)Einkommens- & Vermögensverteilung, Immobilienpreise, Wartezeiten
Modus (Modalwert)x_D (Mod)JaAm häufigsten verkaufte Schuhgröße, häufigste Note im Klassenspiegel
Geometrisches Mittelx̄_geomMäßig (nur für x_i > 0)Durchschnittliche jährliche Verzinsung / Inflation über 5 Jahre
Harmonisches Mittelx̄_harmNein (gewichtet kleine Werte stark)Durchschnittsgeschwindigkeit bei gleichen Teilstrecken (Hin- & Rückfahrt)
Standardabweichungs (Stichprobe) / σNeinQualitätskontrolle, Schwankungsbreite (Volatilität) von Messreihen
Warum teilt man bei der Stichproben-Standardabweichung $s$ durch $(n - 1)$ statt durch $n$? Werden Mittelwert $\bar{x}$ und Streuung aus derselben begrenzten Stichprobe geschätzt, unterschätzt die Division durch $n$ systematisch die wahre Streuung der Grundgesamtheit. Die Division durch $n - 1$ (sogenannte Bessel-Korrektur) liefert einen erwartungstreuen Schätzer und ist der Standard in wissenschaftlichen Arbeiten, Excel (STABW.S) und R.

Praxisbeispiele zur Berechnung von Mittelwert & Median

Schule & Studium

Notendurchschnitt und Median aus 6 Klausurnoten berechnen

Ein Student hat in sechs Prüfungen die Noten 1,7; 2,3; 2,0; 1,3; 3,0 und 2,0 erzielt.

Summe = 1,7 + 2,3 + 2,0 + 1,3 + 3,0 + 2,0 = 12,3 Arithmetisches Mittel x̄ = 12,3 / 6 = 2,05 Sortiert: 1,3 ≤ 1,7 ≤ 2,0 ≤ 2,0 ≤ 2,3 ≤ 3,0 ⇒ Median x̃ = (2,0 + 2,0) / 2 = 2,00 Modus = 2,0 (kommt 2× vor)

Ergebnis: Der Notendurchschnitt beträgt 2,05, Median und Modus liegen bei 2,0.

Gehalt & Ausreißer

Warum der Median bei Einkommen aussagekräftiger ist als das Mittel

In einem kleinen Team verdienen vier Angestellte 2.100 €, 2.300 €, 2.400 € und 2.500 €, der Geschäftsführer verdient 9.800 €.

Arithmetisches Mittel x̄ = (2100 + 2300 + 2400 + 2500 + 9800) / 5 = 3.820 € Median x̃ (3. Wert der sortierten Reihe) = 2.400 €

Ergebnis: Vier von fünf Personen verdienen unter dem Durchschnitt (3.820 €) – der Median (2.400 €) beschreibt das typische Gehalt viel realistischer!

Häufige Fragen zum Thema „Mittelwert berechnen“

Wie berechnet man den gewichteten Mittelwert (z. B. bei ECTS-Punkten oder unterschiedlich zählenden Noten)?
Beim gewichteten arithmetischen Mittel multiplizieren Sie jeden Wert x_i mit seinem Gewicht w_i (z. B. ECTS-Credits) und teilen die Summe dieser Produkte durch die Summe aller Gewichte: x̄_gew = ∑(w_i · x_i) / ∑w_i. Bei ganzzahligen Gewichten (z. B. doppelte Wertung einer Klausur) können Sie die Note in unserem Rechner oben auch einfach zweimal hintereinander eingeben.

Kann es bei einer Zahlenreihe auch mehrere Modalwerte (Modi) geben?
Ja. Kommen zwei verschiedene Zahlen gleich oft und häufiger als alle anderen vor (z. B. in der Reihe 1, 2, 2, 3, 4, 4), ist die Verteilung bimodal und besitzt zwei Modalwerte (2 und 4). Kommt jeder Wert nur genau einmal vor, existiert kein eindeutiger Modus.

Wann verwende ich die Standardabweichung s (n − 1) und wann σ (n)?
Wenn Ihre eingegebenen Zahlen nur eine Stichprobe aus einer größeren Menge sind (z. B. 10 Messungen im Labor oder 30 befragte Kunden), verwenden Sie s mit (n − 1). Umfassen Ihre Zahlen dagegen die komplette Grundgesamtheit ohne Ausnahme (z. B. alle 25 Schülerinnen und Schüler einer konkreten Klasse), verwenden Sie σ mit Teiler n.

Warum funktioniert das geometrische Mittel nicht bei negativen Zahlen oder Null?
Beim geometrischen Mittel werden alle Werte miteinander multipliziert und anschließend die n-te Wurzel gezogen. Wäre ein Wert gleich 0, wäre das gesamte Produkt 0; bei negativen Werten sind gerade Wurzeln im Reellen nicht definiert. Bei prozentualen Änderungen (z. B. −5 %) rechnet man daher immer mit dem positiven Wachstumsfaktor (1 − 0,05 = 0,95).
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